Descomposición en factores primos y números primos

Descomponer un número y saber si es primo

Esta herramienta resuelve dos preguntas habituales en clase de matemáticas: ¿es un número primo? y ¿cuál es su descomposición en factores primos? Escribe un entero de hasta 40 cifras y obtendrás la respuesta, el método empleado, la descomposición en potencias (por ejemplo 2³ × 3² × 5), el número de divisores, su lista y los primos anterior y siguiente. Otro modo genera la lista de números primos hasta 10 millones.

Cómo se usa

1. Elige «Comprobar y descomponer un número», escríbelo en «Número entero» y pulsa «Analizar» o Intro. También acepta potencias: 2^61 − 1.
2. Consulta la «Descomposición en factores primos», el «Número de divisores», el «Primo anterior» y el «Primo siguiente». Las «Divisiones sucesivas» muestran el procedimiento.
3. Marca «Mostrar el árbol de factores» para ver el árbol y «Mostrar la lista de divisores» para todos los divisores y su suma.
4. Para una lista, elige «Lista de números primos», escribe N en «Números primos hasta N» y pulsa «Mostrar la lista». «Descargar la lista (.txt)» guarda la lista completa.

Lo esencial sobre los números primos

Un número primo es un entero que tiene exactamente dos divisores: 1 y él mismo. Son primos 2, 3, 5, 7, 11 y 13; el 2 es el único primo par. El 1 no es primo, porque solo tiene un divisor, y el 0 tampoco. Los enteros mayores que 1 que no son primos se llaman compuestos.

Para saber si un número es primo basta con dividirlo entre los enteros desde 2 hasta su raíz cuadrada. Para 97, √97 ≈ 9,8: ni 2, ni 3, ni 5, ni 7 lo dividen, así que es primo. Cuidado con 221: parece primo, pero 221 = 13 × 17. Con números muy grandes la herramienta aplica el test de Miller-Rabin, que da una respuesta demostrada para cualquier número hasta 2⁶⁴ y mucho más allá.

Cómo se descompone un número

Se divide entre el menor primo posible mientras la división sea exacta y después se pasa al siguiente. Con 2310: 2310 ÷ 2 = 1155, 1155 ÷ 3 = 385, 385 ÷ 5 = 77, 77 ÷ 7 = 11, 11 ÷ 11 = 1. Por tanto, 2310 = 2 × 3 × 5 × 7 × 11, el producto de los cinco primeros primos. La descomposición es única, salvo el orden. Además da el número de divisores: se suma 1 a cada exponente y se multiplica, 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 divisores. Sus vecinos 2309 y 2311 son dos primos gemelos.

La descomposición sirve para simplificar fracciones y para calcular el MCD y el mcm de varios números.

La criba de Eratóstenes

Para obtener los primos hasta N se escriben los números de 2 a N, se deja el 2 y se tachan sus múltiplos; luego se deja el siguiente sin tachar, el 3, y se tachan los suyos, y así sucesivamente. Hasta 100 basta con tachar los múltiplos de 2, 3, 5 y 7: quedan 25 números primos. Hasta 10 millones hay 664 579, y la herramienta los calcula en menos de un segundo.

Existen infinitos números primos, como demostró Euclides hace más de 2000 años. Algunos sistemas de cifrado se basan en que, con los métodos conocidos, recuperar dos primos grandes a partir de su producto exige muchísimo cálculo cuando tienen cientos de cifras.

Preguntas frecuentes

¿Por qué el 1 no es un número primo?

Un primo debe tener exactamente dos divisores distintos y el 1 solo tiene uno. Excluirlo mantiene además la descomposición única: si no, 6 podría escribirse 2 × 3, 1 × 2 × 3, 1 × 1 × 2 × 3…

¿Hasta qué tamaño de número funciona?

Hasta 40 cifras. El test de primalidad es casi instantáneo. Descomponer el producto de dos primos grandes puede tardar: a los 10 segundos el cálculo se detiene e indica qué factor no ha podido separar.

¿Es primo 2⁶¹ − 1?

Sí: 2⁶¹ − 1 = 2 305 843 009 213 693 951 es un primo de Mersenne. Escribe 2^61 − 1 para comprobarlo. El mayor primo menor que 2⁶⁴ es 18 446 744 073 709 551 557.