Calculadora de ecuaciones de segundo grado

Resuelve una ecuación de segundo grado paso a paso

Esta calculadora de ecuaciones de segundo grado resuelve cualquier ecuación de la forma ax² + bx + c = 0. Calcula el discriminante, da las soluciones exactas como fracciones y raíces simplificadas, y después sus valores aproximados. Muestra también la forma canónica, el vértice de la parábola, la forma factorizada, la suma y el producto de las raíces, y dibuja la gráfica.

Cada paso aparece como se escribe en el cuaderno de 3.º o 4.º de ESO o de Bachillerato, así que sirve para comprobar un ejercicio línea a línea.

Cómo se usa

1. En «Coeficientes a, b, c», escribe los tres números: enteros, decimales o fracciones como 1/2. Una casilla vacía vale 0.
2. O elige «Escribir la ecuación» y tecléala tal cual, por ejemplo 3x^2 = 2x + 1. La herramienta lo pasa todo a la izquierda y obtiene 3x² − 2x − 1 = 0.
3. Las soluciones aparecen mientras escribes. Debajo tienes la «Resolución paso a paso», y puedes marcar «Mostrar la tabla de signos».
4. «Copiar el resultado» copia todo en texto. La última entrada se guarda en tu dispositivo.

La fórmula general y el discriminante

La fórmula general de la ecuación de segundo grado es:

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)

Lo que va bajo la raíz es el discriminante, Δ = b² − 4ac. Su signo indica cuántas soluciones hay:

• Δ > 0: dos soluciones reales distintas, x₁ = (−b − √Δ) / (2a) y x₂ = (−b + √Δ) / (2a).
• Δ = 0: una solución doble, x = −b / (2a).
• Δ < 0: no hay solución real. Las dos soluciones son números complejos conjugados, (−b ± i√−Δ) / (2a). Para x² + x + 1 = 0, Δ = −3 y la herramienta muestra −1/2 ± (√3/2)i.

Un ejemplo completo

Resolvemos x² + 2x − 15 = 0, con a = 1, b = 2 y c = −15.

1. Δ = 2² − 4 × 1 × (−15) = 4 + 60 = 64.
2. Δ > 0 y √64 = 8, así que x₁ = (−2 − 8) / 2 = −5 y x₂ = (−2 + 8) / 2 = 3.
3. Comprobación: 3² + 2 × 3 − 15 = 9 + 6 − 15 = 0.

Si Δ no es un cuadrado perfecto, el resultado sigue siendo exacto. Para x² − 3x + 1 = 0, Δ = 5 y las soluciones son (3 − √5)/2 ≈ 0,382 y (3 + √5)/2 ≈ 2,618. Para x² − 12 = 0, Δ = 48 y √48 = √(16 × 3) = 4√3, luego x = ±2√3.

Forma canónica y vértice

Completando cuadrados, todo trinomio se escribe a(x − α)² + β, con α = −b / (2a) y β = −Δ / (4a). El punto (α; β), marcado con S en la gráfica, es el vértice de la parábola. En el ejemplo, x² + 2x − 15 = (x + 1)² − 16: el vértice es (−1; −16) y el valor mínimo es −16. Otro caso: 2x² − 4x + 1 = 2(x − 1)² − 1.

Forma factorizada, suma y producto

Con Δ > 0 el polinomio se factoriza como a(x − x₁)(x − x₂): x² + 2x − 15 = (x − 3)(x + 5). Con Δ = 0 queda a(x − x₁)². Con Δ < 0 no se puede factorizar con números reales.

Las raíces cumplen siempre x₁ + x₂ = −b/a y x₁ · x₂ = c/a (fórmulas de Cardano-Vieta). Aquí, 3 + (−5) = −2 y 3 × (−5) = −15. Sirve para comprobar el resultado o para encontrar las raíces de memoria cuando son enteras.

La parábola

Las soluciones son los puntos donde la parábola y = ax² + bx + c corta al eje X. La gráfica de la herramienta los marca en rojo y señala el vértice: dos cortes si Δ > 0, un punto de contacto si Δ = 0 y ninguno si Δ < 0. La parábola abre hacia arriba si a > 0 y hacia abajo si a < 0. De ahí sale la tabla de signos: fuera de las raíces f(x) tiene el signo de a, y entre ellas el signo contrario.

Preguntas frecuentes

¿Qué pasa si a = 0?

La ecuación queda bx + c = 0, de primer grado, y la herramienta la resuelve igual: 2x + 4 = 0 da x = −2. Si además b = 0, no hay solución cuando c ≠ 0, y cualquier número es solución cuando c = 0.

¿Puedo usar fracciones o decimales?

Sí. 0,5 se lee como 1/2 y los cálculos siguen siendo exactos. Con (1/2)x² − x − 4 = 0, Δ = 9 y las soluciones son −2 y 4.

¿Por qué escribe 2√3 y no 3,4641?

En clase se pide el resultado exacto con la raíz simplificada. La herramienta saca el mayor cuadrado de la raíz y da también el valor aproximado con 4 decimales.

¿Cómo escribo la ecuación con el teclado?

Usa x^2 o x², y * o nada para multiplicar: 2x^2 - 3x + 1 = 0. Puedes poner términos a los dos lados del signo = y usar paréntesis.