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Calculadora de MCD y mcm con pasos

Separa los números con comas, espacios o punto y coma, sin espacios dentro de un número. Hasta 60 cifras por número.

MCD (máximo común divisor)— mcm (mínimo común múltiplo)—

Ejemplos

El cálculo se hace en tu navegador, con números enteros exactos: no se envía nada.

Calculadora de MCD y mcm con el procedimiento completo

Esta calculadora de MCD y mcm obtiene el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de 2 a 10 números enteros, y además enseña cómo se llega al resultado: el algoritmo de Euclides división a división, la descomposición en factores primos con los factores comunes resaltados y, si lo pides, el método de las restas, la lista de divisores y la identidad de Bézout. Sirve para comprobar los ejercicios de la ESO y del bachillerato.

Cómo se usa

  1. En «Números enteros (de 2 a 10)», escribe los números separados por comas, espacios o punto y coma, por ejemplo 72, 30.
  2. Las casillas «MCD (máximo común divisor)» y «mcm (mínimo común múltiplo)» se rellenan al momento. Una línea indica si los números son primos entre sí.
  3. Marca «Método de las restas», «Lista de divisores» o «Identidad de Bézout» para añadir esos métodos a los «Pasos del cálculo». «Descomposición en factores primos» viene marcada.
  4. «Copiar el resultado» copia el resultado con todos los pasos.

Cada número admite hasta 60 cifras y el cálculo se hace con enteros exactos, sin redondeos.

Tres maneras de calcular el MCD

El MCD de dos números es el mayor entero que divide a ambos. El mcm es el menor número distinto de 0 que es múltiplo de los dos. Veámoslo con 72 y 30.

Lista de divisores. Los divisores de 30 son 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30. De ellos, dividen también a 72 el 1, 2, 3 y 6, así que el MCD es 6. Funciona bien con números pequeños.

Algoritmo de Euclides. Se divide el mayor entre el menor: 72 = 2 × 30 + 12. Después, 30 entre el resto: 30 = 2 × 12 + 6. Por último, 12 = 2 × 6 + 0. Con resto 0, el último divisor, 6, es el MCD.

Factores primos. 72 = 2³ × 3² y 30 = 2 × 3 × 5. Para el MCD se toman los factores comunes con el menor exponente: 2 × 3 = 6. Para el mcm, todos los factores con el mayor exponente: 2³ × 3² × 5 = 360.

Con dos números se cumple siempre MCD × mcm = a × b: 6 × 360 = 2160 = 72 × 30. La herramienta lo muestra en la línea «Comprobación».

Para qué sirven el MCD y el mcm

  • Simplificar fracciones: se dividen numerador y denominador entre su MCD. 30/72 queda en 5/12 al dividir entre 6.
  • Reducir a común denominador: el mcm de los denominadores es el menor denominador común. Para 1/6 + 1/8, mcm(6, 8) = 24, así que 4/24 + 3/24 = 7/24.
  • Problemas de reparto: un terreno de 72 m por 30 m se quiere dividir en parcelas cuadradas iguales, lo más grandes posible. El lado será de 6 m y saldrán 12 × 5 = 60 parcelas.

Con «Identidad de Bézout», la calculadora encuentra además dos enteros u y v tales que 72u + 30v = 6, aquí u = −2 y v = 5, mediante el algoritmo de Euclides extendido presentado en una tabla.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula el MCD de tres números o más?

Se calcula el MCD de los dos primeros y después el MCD de ese resultado con el tercero, y así sucesivamente. Para 12, 18 y 30: MCD(12, 18) = 6 y MCD(6, 30) = 6. El mcm sigue el mismo camino: mcm(12, 18) = 36 y mcm(36, 30) = 180.

¿Qué significa que dos números sean primos entre sí?

Que su MCD es 1: no comparten ningún divisor salvo el 1. Es el caso de 9 y 16, aunque ninguno de los dos sea primo. Su mcm es entonces su producto, 144.

¿Qué pasa con el 0 o con los números negativos?

Todo entero divide a 0, así que MCD(0, 15) = 15 y el mcm vale 0. El MCD de dos ceros no está definido y la herramienta lo avisa. Los signos menos se ignoran, porque el MCD y el mcm se calculan con los valores absolutos.